Kalkulus 1 | Turunan Fungsi Trigonometri

Modul Kalkulus

Selamat Datang di Modul Online

Kalkulus

Terimakasih sudah mengunjungi modul online Kalkulus

Prodi SI

Kalkulus 1 | Pengantar

Kalkulus 1 | Fungsi

Pengantar Fungsi
Fungsi Invers
Fungsi Trigonometri
Menyelesaikan Persamaan Trigonometri
Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Kalkulator, Bagian I
Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Kalkulator, Bagian II
Fungsi Eksponensial
Fungsi Logaritma
Persamaan Eksponensial dan Logaritma
Grafik Umum

Kalkulus 1 | Limit

Kalkulus 1 | Turunan

Turunan
Definisi Turunan
Interpretasi Derivatif
Rumus Diferensiasi
Aturan Produk dan Hasil Bagi
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Turunan dari Fungsi Trigonometri Invers
Turunan Fungsi Hiperbolik
Aturan Rantai
Diferensiasi Implisit
Tarif Terkait
Derivatif Orde Tinggi
Diferensiasi Logaritmik

Kalkulus 1 | Integral

Integral tak tentu
Menghitung Integral Tak Tentu
Aturan Substitusi untuk Integral Tak Tentu
Lebih Banyak Aturan Pergantian
Masalah Area
Definisi Integral Tentu
Menghitung Integral Pasti
Aturan Substitusi untuk Integral Tentu

Turunan Fungsi Trigonometri (Derivatives of Trig Functions) – Pada bagian ini kita akan membahas tentang membedakan fungsi trigonometri. Turunan dari keenam fungsi trigonometri diberikan dan kami menunjukkan turunan dari turunan dari sin (x) dan tan (x).

Dengan bagian ini kita akan mulai melihat turunan dari fungsi selain polinomial atau akar polinomial. Kita akan memulai proses ini dengan melihat turunan dari enam fungsi trigonometri.

Dua turunan akan diturunkan. Empat sisanya diserahkan kepada Anda dan akan mengikuti bukti serupa untuk dua yang diberikan di sini.

Sebelum kita benar-benar membahas turunan dari fungsi trigonometri, kita perlu memberikan beberapa batasan yang akan muncul dalam turunan dari dua turunan.

Fakta

$\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{sin\theta }{\theta }=1$ dan $\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{cos\theta-1}{\theta }=0$

Sebelum melanjutkan. Siswa sering bertanya mengapa kami selalu menggunakan radian di kelas Kalkulus.

Inilah alasannya! Pembuktian rumus yang melibatkan sinus di atas membutuhkan sudut dalam radian. Jika sudut dalam derajat, batas yang melibatkan sinus bukan 1 sehingga rumus yang akan kita turunkan di bawah juga akan berubah.

Rumus di bawah ini akan mengambil konstanta ekstra yang hanya akan menghalangi pekerjaan kami, jadi kami menggunakan radian untuk menghindarinya.

Jadi, ingatlah untuk selalu menggunakan radian di kelas Kalkulus!

Sebelum kita mulai membedakan fungsi trigonometri, mari kita kerjakan serangkaian masalah batas yang sekarang memungkinkan kita melakukannya.

Evaluasi 1. Tentukan nilai setiap limit berikut.

$(a) \lim_{\theta\rightarrow0}\frac{sin\theta}{6\theta}$

$(b) \lim_{x\rightarrow0}\frac{sin(6x)}{x}$

$(c) \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{sin(7x)}$

$(d) \lim_{t\rightarrow0}\frac{sin(3t)}{sin(8t)}$

$(e) \lim_{x\rightarrow4}\frac{sin(x-4)}{x-4}$

$(f) \lim_{z\rightarrow0}\frac{cos(2z)-1}{z}$

Oke, sekarang setelah kita mendapatkan rangkaian contoh batas ini, mari kita kembali ke poin utama bagian ini, membedakan fungsi trigonometri.

Kita akan mulai dengan mencari turunan dari fungsi sinus. Untuk melakukan ini kita perlu menggunakan definisi turunan.

Sudah lama sejak kita harus menggunakan ini, tetapi kadang-kadang tidak ada yang bisa kami lakukan. Berikut adalah definisi turunan dari fungsi sinus.

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\lim_{h\rightarrow0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}$

Karena kita tidak bisa hanya memasukkan h = 0 untuk mengevaluasi batas, kita perlu menggunakan rumus trigonometri berikut pada sinus pertama di pembilang.

sin (x + h) = sin (x) cos (h) + cos (x) sin (h)

Melakukan ini memberi kita,

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\lim_{h\rightarrow0}\frac{sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)-sin(x)}{h}$

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\lim_{h\rightarrow0}\frac{sin(x)(cos(h)-1)+cos(x)sin(h)}{h}$

$\frac{d}{dx}(sin(x))=\lim_{h\rightarrow0}sin(x)\frac{cos(h)-1}{h}+\lim_{h\rightarrow0}cos(x)\frac{sin(h)}{h}$

Seperti yang Anda lihat saat menggunakan rumus trigonometri, kita dapat menggabungkan suku pertama dan ketiga lalu memfaktorkan sinus dari suku itu. Kita kemudian dapat memecah pecahan menjadi dua bagian, yang keduanya dapat ditangani secara terpisah.

Sekarang, kedua limit di sini adalah limit saat h mendekati nol. Pada limit pertama kita memiliki sin (x) dan pada limit kedua kita memiliki cos (x). Keduanya hanya fungsi dari x saja dan ketika h bergerak menuju nol ini tidak berpengaruh pada nilai x. Oleh karena itu, sejauh menyangkut limit, kedua fungsi ini adalah konstanta dan dapat difaktorkan dari limitnya masing-masing. Melakukan ini memberi,

$\frac{d}{dx}(sin(x))=sin(x)\lim_{h\rightarrow0}\frac{cos(h)-1}{h}+cos(x)\lim_{h\rightarrow0}\frac{sin(h)}{h}$

Pada titik ini yang perlu kita lakukan adalah menggunakan batasan fakta di atas untuk menyelesaikan masalah ini.

$\frac{d}{dx}(sin(x))=sin(x)(0)+cos(x)(1) = cos(x)$

Diferensiasi cosinus dilakukan dengan cara yang sama. Ini akan membutuhkan formula trigonometri yang berbeda, tetapi selain itu merupakan bukti yang hampir identik. Detailnya akan diserahkan kepada Anda. Setelah selesai dengan bukti yang harus Anda dapatkan,

$\frac{d}{dx}(cos(x))=-sin(x)$

Dengan menyisihkan dua ini, empat sisanya cukup mudah didapat. Semua empat fungsi trigonometri yang tersisa dapat didefinisikan dalam bentuk sinus dan cosinus dan definisi ini, bersama dengan aturan turunan yang sesuai, dapat digunakan untuk mendapatkan turunannya.

Mari kita lihat garis singgung. Tangen didefinisikan sebagai,

$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

Sekarang kita memiliki turunan dari sinus dan cosinus yang perlu kita lakukan adalah menggunakan aturan hasil bagi ini. Ayo lakukan itu.

$\frac{d}{dx}(tan(x))=\frac{d}{dx}\left (\frac{sin(x)}{cos(x)}\right )$

$\frac{d}{dx}(tan(x))=\frac{cos(x)cos(x)-sin(x)(-sin(x))}{(cos(x))^{2}}$

$\frac{d}{dx}(tan(x))=\frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}$

Sekarang, ingat kembali bahwa cos² (x) + sin² (x) = 1 dan jika kita juga mengingat definisi garis potong dalam cosinus yang kita dapatkan,

$\frac{d}{dx}(tan(x))=\frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}$

$\frac{d}{dx}(tan(x))=\frac{1}{cos^{2}(x)}$

$\frac{d}{dx}(tan(x))=sec^{2}(x)$

Tiga fungsi trigonometri lainnya juga merupakan hasil bagi yang melibatkan sinus dan/atau cosinus sehingga dapat dibedakan dengan cara yang sama. Kami akan menyerahkan detailnya kepada Anda. Berikut adalah turunan dari keenam fungsi trigonometri.

Turunan dari enam fungsi trigonometri

$\frac{d}{dx}(sin(x)) = cos (x); \frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin (x)$

$\frac{d}{dx}(tan(x)) = sec^{2} (x); \frac{d}{dx}(cot(x)) = -csc^{2} (x)$

$\frac{d}{dx}(sec(x)) = sec (x) tan (x); \frac{d}{dx}(csc(x)) = -csc (x) cot(x)$

Evaluasi 2. Bedakan setiap fungsi berikut.

(a) g(x) = 3 sec (x) − 10 cot (x)

(b) h(w) = 3 w⁻⁴ − w² tan (w)

$(d) P(t)=\frac{sin(t)}{3-2cos(t)}$

Sebagai masalah terakhir di sini jangan lupa bahwa kita masih memiliki interpretasi standar untuk turunan.

Evaluasi 3. Misalkan jumlah uang di rekening bank diberikan oleh

P(t) = 500 + 100 cos (t) – 150 sin (t)

dimana t dalam tahun. Selama 10 tahun pertama rekening dibuka, kapan jumlah uang dalam rekening bertambah?

Pada bagian ini kita melihat bagaimana membedakan fungsi trigonometri. Kami juga melihat dalam contoh terakhir bahwa interpretasi kami terhadap turunan masih berlaku sehingga kami tidak dapat melupakannya.

Selain itu, penting bagi kita untuk dapat menyelesaikan persamaan trigonometri karena ini adalah sesuatu yang akan terus muncul dalam kursus ini. Penting juga bahwa kita dapat melakukan jenis garis bilangan yang kita gunakan pada contoh terakhir untuk menentukan di mana suatu fungsi positif dan di mana suatu fungsi negatif. Ini adalah sesuatu yang kadang-kadang akan kita lakukan di bab ini dan bab berikutnya.

Tags: Kalkulus 1

Modul Kalkulus

Kalkulus

You may also like...

Apa itu Administrasi Sistem?

Pengantar Metode Numerik

Manajemen Terpusat